関数 y=1/2x²で、ｘの値が−2から3まで増加するときの変化の割合を求めよ

質問の多い問題ですが、中3必須の問題です。
分かるだけではなく、一瞬で答えを出せる裏技を紹介しますね。
平均を求める問題や入試レベルの問題も早く解ける技にも応用できます。

答えだけ出す方法からいうと、

変化の割合=1/2(−2+3)
1/2が答えになります。

裏技
y=ax²でxがx₁からx₂まで増加するとき、変化の割合は、a(x₁+x₂)になる

つまり、xの値を2つ足してx²の係数をかけると答えになってしまうわけです。
暗算で出せるレベルですね。

教科書にものっていないこの式、なぜ成り立つんでしょう？

まともに出す方法と理由は理解した上で、時間短縮に使ってほしいと思います。

理由

一般式で考えてみます。

y=ax²でxがx₁からx₂まで増加するとき、変化の割合は？

変化の割合の定義は、yの増加量／xの増加量ですね。

xの増加量 = x₂-x₁ ・・・①（後-前で増えた量が出ます）

x = x₁のとき y = ax₁ ²
x = x₂のとき y = ax₂ ²

よって
yの増加量
= ax₂ ²-ax₁²
= a(x₂ ²-x₁ ²)
= a(x₂+x₁)(x₂-x₁)・・・②

①②より
変化の割合
= yの増加量／xの増加量
= a(x₂+x₁)(x₂-x₁)／ x₂-x₁
= a(x₂+x₁)

となりますね。
まともに解くとこれをやらないといけないんですが、裏技を使うと中間の計算を飛ばせるわけです。

入試問題で使ってみる

実際の入試でも使えます。出され方を見てみましょう。

（2）ですが、冒頭でやった問題と同じです。A→Bの変化の割合は1/2と分かるので、そのまま直線ABの傾きになりますね。

y = 1/2x+b とおくところからできます。あとはどちらか1点の座標を代入して出せると思います。

（1）は①に点Aの座標から代入して、a=8
①は y=8/x

（2）

長くなったので、途中は省略しますが、EDの傾きはED間の変化の割合と同じ。

裏技 変化の割合＝a(x₁+x₂)に代入すると・・・

b(Eのx座標+Dのx座標)=ABの傾き
これでbの値も出せます。

答え -1/2

以上、中3の2次関数の変化の割合を求める裏技でした。

追伸

5年前にうちのプロ講師が見させてもらった卒業生のお父さんから電話がありました。「よく覚えていますね、びっくりです」と言われていました。よく相談いただいたので覚えています。今度は下のお子さんの勉強の相談。力になりたいと思います。

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◆執筆者紹介

笠井伸春
個別指導塾・家庭教師のオアシス 代表
ふくい家庭教師ナビ(カテナビ)主宰

単に目先の点数を上げることだけではなく、自信につなげ、いかに生徒が自分から学習できるようになるか、自立した学習が身に付くようなサポートを目指す。高校入試対策のため勉強方法を教えた中学生が、高校でも実践し伸びていることを知り、「1回のテストのために得た知識はテストが終わったら価値がなくなるけど、一度身につけた勉強方法はその先もずっと使える、価値の高いスキルなんじゃないか?」と考え、勉強のやり方を教える家庭教師のチームを作る。

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